什么是“流形”?
作者:Paulina Rowińska
原文链接:https://www.quantamagazine.org/what-is-a-manifold-20251103/
一、引言
站在一片辽阔的草地中,我们很容易忘记,自己其实正生活在一个圆形的星球上。从人类的视角看,地面似乎是平的——毕竟,我们太渺小了。
世界上存在许多这样的形状:对生活其上的“蚂蚁”而言,它们是平的;但从宏观角度看,它们可能蜿蜒、弯曲,甚至首尾相连。
数学家把这种“局部平坦、整体复杂”的空间称作 流形(manifold)。
19 世纪中叶,德国数学家伯恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)提出了这一概念。
它改变了人类对“空间”的思考方式:空间不再只是盛放数学对象的舞台,而是一种本身可以被研究、被定义的结构。
这一转变开启了对高维空间的系统研究,也催生了现代的拓扑学(topology)——专门研究空间性质的数学领域。
今天,流形已成为几何、动力系统、数据分析乃至物理学的核心语言。
它就像数学世界的“字母表”。正如比萨大学数学家 Fabrizio Bianchi 所说:
“只会写西里尔字母不代表你会说俄语,但要学俄语,你必须先学会西里尔字母。”
二、思想成形
几千年来,几何学(geometry) 一直指的是研究欧几里得空间(Euclidean space)中的形状——
也就是我们身边“平直”的空间。
“直到十九世纪前,‘空间’这个词几乎等同于‘物理空间’。”
西班牙塞维利亚大学科学哲学家José Ferreirós这样解释道。那时的空间概念,就像一条直线或一张平面——平坦、可度量、顺理成章。
在欧几里得空间中,一切规律都符合直觉:两点之间最短的距离是直线;三角形的内角和永远是 180°;微积分的工具也都可用。
然而到了十九世纪初,一些数学家开始探讨非平坦的空间——比如球面或马鞍面。
在这些空间中,平行线可能最终相交;三角形的角和可能大于或小于 180°;而计算也变得复杂得多。
当时的数学界对这种思想感到困惑乃至抵触。许多人认为“这不是真实的空间”。
但也有人想把这种思考推得更远。其中最重要的一个人,就是黎曼。
黎曼原本打算学习神学(他的父亲是一位牧师),后来被数学吸引,1849 年进入哥廷根大学攻读博士学位,导师正是被称为“数学王子”的高斯(Carl Friedrich Gauss)。高斯那时正在研究曲线和曲面的“内在几何”,也就是在不依赖外部空间的情况下,描述它们自身的性质。
1854 年,黎曼需要发表一场试讲,以竞聘大学教职。题目是:“几何学的基础”。
6 月 10 日,这位害怕公众演讲的年轻人,在讲台上提出了一个大胆的设想:他将高斯关于曲面的思想,推广到任意维度——甚至是无限维空间。
高斯听完后立刻意识到这是一场思想革命。这不仅仅是数学,更触及哲学与物理的根本。
但当时的数学家大多认为黎曼的观点太抽象、太空洞。
“许多科学家和哲学家都说,‘这简直是胡言乱语’。”Ferreirós 回忆说。
黎曼的讲稿在他生前几乎无人问津,直到他去世两年后的 1868 年才首次出版。
到了十九世纪末,法国数学家庞加莱(Henri Poincaré)等人重新发现了黎曼思想的重要性;
1915 年,爱因斯坦在广义相对论中正式采用了黎曼几何,把这一“抽象的哲学空间”带进了现实宇宙。
黎曼创造了一个能包容所有几何、任意维度的概念:流形。它彻底改变了我们理解“空间”的方式。
三、绘制空间的“地图”
“Manifold” 这个词源自德语 Mannigfaltigkeit,意思是“多样性”或“多重性”。
简单来说,流形就是一个在局部看起来像欧几里得空间的空间。
比如,一个圆是一维流形。无论你在圆上哪个位置放大观察,它都像是一条笔直的线。生活在圆上的“蚂蚁”永远不会意识到它其实是圆的。
但如果你放大看一个“8”字形曲线,在交叉点处,它永远不像一条直线。那只蚂蚁会在交点处发现——这不是一个“平坦”的世界。因此,8 字形不是流形。
在二维情况下,地球表面就是一个流形——无论你放大哪个区域,它都近似一块平面。但一个“双锥面”(上下两个锥体在顶点相接)的表面却不是流形,因为顶点处“不可展开”。
流形的思想解决了数学中的一个难题:同一个形状在不同空间中可能呈现出完全不同的性质。
举个例子:在桌面上摆一根绳子,连接两端,你会得到一个环。
如果把绳子拿到三维空间中,再连接两端,你可以在连接前让它绕过或穿过自己,形成各种“结”。
从一维角度看,它们都是同一个“环形流形”;但在三维空间中,它们的结构差异巨大。
为了避免这种混淆,数学家更关注流形本身的内在性质,而非它嵌入在哪个空间中。
流形最核心的特征——“局部看似欧几里得空间”——使得数学家可以在上面使用微积分等工具。
也就是说,虽然整体可能弯曲,我们仍能在局部用熟悉的方式计算面积、体积或描述运动。
数学家通常会把一个流形分成若干重叠的“小片”,每一片都可以用一组坐标来描述——这叫做 “坐标图”(chart)。例如,一个二维流形的每个图就像地图上的一张局部投影。
当两张“图”重叠时,你需要写出它们坐标之间的“转换规则”。所有这些图及其转换关系的集合,称为 “图册”(atlas)。
有了图册,数学家就能像探险家一样,一片一片地测量、拼接,把复杂的流形“翻译”成局部的平坦空间进行研究。
你想研究一个函数在流形上的变化?
没问题——把它拆成几块,在每张图上分析,再拼起来。
这套方法如今贯穿数学与物理的各个角落。
四、流形的用途
流形是理解宇宙的核心工具。
在爱因斯坦的广义相对论中,时空(space-time)就是一个四维流形,而引力,就是这个流形的“弯曲”。
我们生活的三维空间,本身也是一个流形。对我们来说,它局部看似平坦,但它的整体形状——宇宙到底是“封闭”的还是“张开的”——仍是未解之谜。
即使问题看似与流形无关,数学家和物理学家也常主动把它们改写为“流形语言”,因为那样问题往往变得更直观、更容易计算。
正如普林斯顿大学理论物理学家Jonathan Sorce所说:
“物理学的核心,其实是理解几何——而流形正是那种意想不到的几何方式。”
举个例子:
双摆(一个摆锤挂在另一个摆锤上)是混沌系统的典型。哪怕初始角度稍有不同,轨迹就完全不同。但如果我们只用两个角度(分别表示两个摆臂的位置)来描述它的状态,那么所有可能的状态就构成一个“甜甜圈形”的空间——环面(torus),它就是一个流形。
在这个流形上,每一个点对应摆锤的一个具体姿态;而路径则代表摆锤在运动中的轨迹。

这样,原本难以预测的动力学问题,就变成了几何上的路径问题。同样的思想也用于研究流体、机器人、量子粒子的运动。
数学家还会把复杂代数方程的解看作一个流形,从而理解它们的结构;或把高维数据(比如上千个神经元的活动记录)映射到低维流形上,寻找模式。
Sorce 总结道:
“问科学家如何使用流形,就像问他们如何使用数字——它是万物的基础。”
结语
黎曼提出流形的那一刻,人类对“空间”的想象从三维世界解放出来。此后一个多世纪,这一抽象的概念成为了数学与物理的共同语言。
无论是宇宙的弯曲时空,还是神经元的高维活动,它们都在一个共同的思想框架中——流形——得到表达。
当我们凝视脚下那片看似平坦的土地时,或许也能想起:这看似普通的“平面”,其实是一个正在弯曲的宇宙的一小片。
编辑留白
《What Is a Manifold?》是 Quanta Magazine 一贯的典型风格——在抽象的数学与人类直觉之间,寻找一条温柔的解释路径。
“流形”听起来深奥,其实它的美在于“局部的平凡与整体的奇异”。从一个小点看,它和我们熟悉的平面没什么不同;但当你试图看清它的全貌,就会发现,宇宙从未真正“平坦”过。
黎曼提出流形的那一刻,人类对“空间”的想象从三维世界解放出来。此后一个多世纪,这一抽象的概念成为了数学与物理的共同语言。
无论是宇宙的弯曲时空,还是神经元的高维活动,它们都在一个共同的思想框架中——流形——得到表达。
当我们凝视脚下那片看似平坦的土地时,或许也能想起:这看似普通的“平面”,其实是一个正在弯曲的宇宙的一小片。